Историята

Питагорейската теорема: Пътят на истината

Питагорейската теорема: Пътят на истината



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Питагор (569-475 г. пр. Н. Е.) Е признат за първия математик в света. Той е роден на остров Самос и се смяташе, че учи с Талес и Анаксимандър (признат за първите западни философи). Питагор вярва, че числата са не само пътят към истината, но и самата истина. Чрез математиката човек може да постигне хармония и да живее по -лесен живот. Твърди се, че той е предложил редица математически теореми за тази цел, но от всичко това остава само известната Питагорова теорема (Алън, 1966).

Историкът Робинсън пише: „Твърдението, че„ Питагор е работил много усилено в аритметичната страна на геометрията “, се потвърждава допълнително от традицията, че той изследва аритметичния проблем за намиране на триъгълници с квадрат от едната страна, равен на сумата от квадратите на другите две ”и направи това рано, като използваше камъни в редове, за да разбере истините, които се опитваше да предаде (1968). Питагоровата теорема гласи, че a² + b² = c². Това се използва, когато ни е даден триъгълник, в който знаем само дължината на две от трите страни. C е най -дългата страна на ъгъла, известна като хипотенуза. Ако a е съседният ъгъл, тогава b е противоположната страна. Ако b е съседният ъгъл, тогава a е противоположната страна. Ако a = 3 и b = 4, тогава можем да решим за c. 32 + 42 = c². 9 + 16 = c². 25 = c². c = 5. Това е едно от основните приложения на Питагоровата теорема.

Има много доказателства за питагорейската теорема, като най -известното е доказателството на Евклид от книга I на неговата книга Елементи.

Предложение: При правоъгълни триъгълници квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.

Евклид започна с питагорейска конфигурация и след това начерта линия чрез диаграма, илюстрираща равенствата на областите. Той заключава, че AB/AC = AC/HA, следователно (AC) ² = (HA) (AB). Тъй като AB = AJ, площта на правоъгълника HAJG съответства на площта на квадрата от страна AC. По подобен начин AB/BC = BC/BH също записан като (BC) ² = (BH) (AB) = (BH) (BD) и тъй като AB = BD. Така виждаме, че сумата от площите на правоъгълниците е площта на квадрата върху хипотенузата. По думите на Стефани Морис, „Това завършва доказателството“ (Морис, 2011).

Друго доказателство, което е по -лесно за хората да разбере, започва с правоъгълник, разделен на три триъгълника, всички с прав ъгъл.

Триъгълник BEA и триъгълник BCE припокриват триъгълник ACD. Сравнявайки триъгълник BCE и триъгълник ACD и гледайки съответните им страни, виждаме, че AC/BC = AD/EC. Тъй като AD = BC, AC/AD = AD/EC. Чрез умножение това уравнение се изобразява (AD) ² = (AC) (AE). От триъгълници ABC и ABE, като отбелязваме, че AB = CD, сравнявайки правите ъгли на тези две фигури, правим уравнението AC/AB = CD/AE. От първоначалната форма на правоъгълник имахме AB = CD, даден също като AC/CD = CD/AE, който се записва като задача за умножение като (CD) ² = (AC) (AE) и чрез добавяне на уравненията, които имаме досега, получаваме две нови формули, които са (CD) ² + (AD) ² = (AC) (AE) + (AC) (EC) и (CD) ² + (AD) ² = (AC) (AE + EC). Тъй като AC = AE + EC, получаваме (CD) ² + (AD) ² = (AC) ². Както и при по -ранното доказателство, това показва валидността на питагорейската теорема (Морис, 2011).

В Питагоровата теорема всяка страна/ъгъл е критична информация, която ни помага да определим други ъгли/страни. Питагор вярва в обективна истина, която е число. Питагоровата теорема позволява истините да бъдат опознати чрез математическите уравнения, посочени по -горе, което означава, че съществува обективна истина, извън всяко лично мнение, което всъщност може да бъде доказано; и това, накрая, е това, което Питагор е искал да докаже чрез своята работа.

История на любовта?

Регистрирайте се за нашия безплатен седмичен бюлетин по имейл!


Питагорейската теорема: Пътят на истината - история

Това есе е вдъхновено от клас, който посещавам през това тримесечие. Класът е История на математиката. В този клас се учим как да включим историята на математиката в преподаването на математика. Един от начините да включите историята на математиката във вашата класна стая е да включите древните математически проблеми във вашето обучение. Друг начин е да въведете нова тема с малко история на темата. Надяваме се, че това есе ще ви даде някои идеи как да включите историята на питагорейската теорема в нейното преподаване и изучаване.

Обсъждахме различни теми, разработени в древните цивилизации. Питагоровата теорема е една от тези теми. Тази теорема е една от най -ранните познати теореми на древните цивилизации. Той е кръстен на Питагор, гръцки математик и философ. Теоремата носи неговото име, въпреки че имаме доказателства, че вавилонците са познавали тази връзка около 1000 години по -рано. Plimpton 322, вавилонска математическа плочка, датираща от 1900 г. пр. Н. Е., Съдържа таблица с питагорейски тройки. Chou-pei, древен китайски текст, също ни дава доказателства, че китайците са знаели за питагорейската теорема много години преди Питагор или някой от неговите колеги в питагорейското общество да я открие и докаже. Това е причината теоремата да е кръстена на Питагор.

Питагор е живял през шести или пети век пр.н.е. Той основава питагорейската школа в Кротона. Това училище беше академия за изучаване на математика, философия и естествени науки. Питагорейската школа беше нещо повече от училище, което беше & квотно тясно свързано братство с тайни обреди и спазване & quot (Eves 75). Поради това училището е унищожено от демократичните сили на Италия. Въпреки че братството е разпръснато, то продължава да съществува още два века. На Питагор и неговите колеги се приписва много принос към математиката.

По -долу е разследване на това как Питагоровата теорема е доказана през годините.

& quotКвадратът на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сумата от квадратите на двата катета & quot (Eves 80-81).


Тази теорема говори за площта на квадратите, които са изградени от всяка страна на десния триъгълник.

Съответно получаваме следните области за квадратите, където зелените и сините квадрати са на катетите на десния триъгълник, а червеният квадрат е на хипотенузата.

площта на зеления квадрат е
площта на синия квадрат е
площта на червения квадрат е

От нашата теорема имаме следната връзка:

площ на зелен квадрат + площ на син квадрат = площ на червен квадрат или

Както казах по -рано, тази теорема е кръстена на Питагор, защото той е първият, който я доказва. Вероятно е използвал доказателствен вид на дисекция, подобен на следния, за доказване на тази теорема.

& quot Нека a, b, c означават катетите и хипотенузата на дадения правоъгълен триъгълник и да разгледаме двата квадрата в придружаващата фигура, всеки от които има a+b като своя страна. Първият квадрат е разчленен на шест части-а именно двата квадрата на краката и четири правилни триъгълника, съответстващи на дадения триъгълник. Вторият квадрат е разчленен на пет части-а именно квадратът на хипотенузата и четири правилни триъгълника, съответстващи на дадения триъгълник. Като изваждаме равни от равни, сега следва, че квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на краката & quot (Eves 81).

Помислете за следната фигура.

Площта на първия квадрат се определя от (a+ b)^2 или 4 (1/2ab)+ a^2+ b^2.
Площта на втория квадрат се определя от (a + b)^2 или 4 (1/2ab) + c^2.
Тъй като квадратите имат равни площи, можем да ги зададем равни на друг и да извадим равни. Случаят (a+b)^2 = (a+b)^2 не е интересен. Нека направим другия случай.
4 (1/2ab) + a^2 + b^2 = 4 (1/2ab) + c^2
Изваждане на равни от двете страни имаме

заключение на доказателството на Питагор.
През годините имаше много математици и нематематици, които да дават различни доказателства за питагорейската теорема. Следват доказателства от Бхаскара и един от нашите бивши президенти, президент Джеймс Гарфийлд. Избрах тези доказателства, защото всяко от тях би било подходящо да се използва във всяка класна стая.

Първото доказателство на Бхаскара

Доказателството на Бхаскара също е доказателство за дисекция. Подобно е на доказателството, предоставено от Питагор. Бхаскара е роден в Индия. Той е един от най -важните индуски математици от втори век след Христа. Той използва следните диаграми за доказване на Питагоровата теорема.

В горните диаграми сините триъгълници са съвпадащи, а жълтите квадрати - конгруентни. Първо трябва да намерим площта на големия квадрат по два различни начина. Първо нека намерим площта, използвайки формулата за площ за квадрат.
По този начин A = c^2.
Сега нека намерим площта, като намерим площта на всеки от компонентите и след това сумираме площите.
Площ на сините триъгълници = 4 (1/2) ab
Площ на жълтия квадрат = (b-a)^2
Площ на големия квадрат = 4 (1/2) ab + (b-a)^2
= 2ab + b^2 - 2ab + a^2
= b^2 + a^2

Тъй като квадратът има същата площ, независимо как го намирате
A = c^2 = a^2 + b^2,
приключване на доказателството.


Второ доказателство на Бхаскара за питагорейската теорема

В това доказателство Бхаскара започна с правоъгълен триъгълник и след това начерта надморска височина върху хипотенузата. Оттук той използва свойствата на сходството, за да докаже теоремата.

Сега докажете, че триъгълниците ABC и CBE са подобни.
От постулата АА следва, че триъгълникът ABC е подобен на триъгълника CBE, тъй като ъгъл В е конгруентен на ъгъл В, а ъгъл С е конгруентен на ъгъл Е. По този начин, тъй като вътрешните съотношения са равни s/a = a/c.
Умножаваме двете страни по ac, получаваме
sc = a^2.

Сега покажете, че триъгълниците ABC и ACE са подобни.
Както и преди, от постулата на АА следва, че тези три триъгълника са подобни. Ъгъл А е конгруентен на ъгъл А, а ъгъл С - на ъгъл Е. Така r/b = b/c. Умножавайки двете страни с bc, получаваме
rc = b^2.

Сега, когато добавим двата резултата, получаваме
sc + rc = a^2 + b^2.
c (s + r) = a^2 + b^2
c^2 = a^2 + b^2,
завършвайки доказателството на Питагоровата теорема.

Доказателството на Гарфийлд

Двадесетият президент на САЩ даде следното доказателство на питагорейската теорема. Той откри това доказателство пет години преди да стане президент. Той достигна това доказателство през 1876 г. по време на математическа дискусия с някои от членовете на Конгреса. По -късно е публикувано в New England Journal of Education .. Доказателството зависи от изчисляването на площта на десен трапец по два различни начина. Първият начин е чрез използване на формулата за площ на трапец, а вторият е чрез сумиране на площите на трите правилни триъгълника, които могат да бъдат конструирани в трапеца. Той използва следния трапец при разработването на своето доказателство.

Първо, трябва да намерим площта на трапеца, като използваме формулата за площ на трапеца.
A = (1/2) h (b1+b2) площ на трапец

В горната диаграма h = a+b, b1 = a и b2 = b.

Нека сега намерим площта на трапеца, като сумираме площта на трите правоъгълни триъгълника.
Площта на жълтия триъгълник е
A = 1/2 (ба).

Площта на червения триъгълник е
A = 1/2 (c^2).

Площта на синия триъгълник е
A = 1/2 (ab).

Сумата от площта на триъгълниците е
1/2 (ba) + 1/2 (c^2) + 1/2 (ab) = 1/2 (ba + c^2 + ab) = 1/2 (2ab + c^2).

Тъй като тази площ е равна на площта на трапеца, имаме следната връзка:
(1/2) (a^2 + 2ab + b^2) = (1/2) (2ab + c^2).


Питагорова теорема

Защо математиката е различна (по добър начин) от всеки друг предмет, който сте учили в училище?

Две думи: Питагорова теорема.

Нека обясня. Питагоровата теорема сама по себе си не е истинската причина математиката да е уникална, тя е просто пример, който искам да използвам, за да илюстрирам моята теза. Избрах тази теорема за пример, защото имам опит, че това е едно от малкото неща, които всички помнят от часа по математика, независимо от това колко много им хареса математиката или колко добре се справиха в курса. Но само в случай, че P.T. помислих си, ето обобщение:

За всеки правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата (страна срещу десния ъгъл (90 градуса)) е равен на сумата от квадрата на другите две страни.

Този резултат се приписва на гръцкия математик и философ Питагор (оттук и творческото име на теоремата). Питагор е живял между V и VI век пр.н.е. и макар в крайна сметка той да е този, който е заслужил доказването на теоремата, има доказателства, че резултатът от теоремата е бил известен на вавилонците 1000 години преди раждането на Питагор. Забележете този стар таблет:

Уау, това е старо. Тук можете да прочетете повече за вавилонците и питагорейската теорема.

Искам да кажа, че в кой друг клас изпълнявате същите операции, каквито са извършвали хората преди 3000 години? Със сигурност в часовете по история научавате за по -ранните цивилизации, но не сте научени как да го правите направете историята по същия начин като тези цивилизации. Точността, която съвременната история изисква, до голяма степен беше неизвестна за тези древни хора. Може би в литературата четете Омир ’ Илиада и Одисея, но отново не сте научени да пишете в същия стил на епична поезия.

И така, защо тогава в класа по математика, докато напредъкът е постигнат и технологиите със сигурност са изминали дълъг път, ние все още смятаме, че е полезно да извършваме изчисления по начина, по който са били извършвани преди хиляди години?

Моят отговор: няма нищо за усъвършенстване, нищо за подобряване, когато срещнете истината. Истинска истина.

За всички нас, които държим християнското убеждение, че Бог е истина, всичко, което е вярно, е факт за Бога, а математиката е клон на теологията.

"Главната цел на всички изследвания на външния свят трябва да бъде да се открие рационалният ред и хармония, които са му наложени от Бог и които Той ни разкри на езика на математиката."


Теорема на Питагор във вавилонската математика

В тази статия разглеждаме четири вавилонски плочи, всички те имат някаква връзка с теоремата на Питагор. Със сигурност вавилонците са били запознати с теоремата на Питагор. Превод на вавилонски плочка, който се съхранява в британския музей, е следният:-

Всички плочи, които искаме да разгледаме подробно, идват от приблизително същия период, а именно този на Старовавилонската империя, която процъфтява в Месопотамия между 1900 г. пр. Хр.


Тук е a карта на региона където процъфтява вавилонската цивилизация.


Статията Вавилонска математика дава известна информация за това как е възникнала цивилизацията и математическата основа, която те са наследили.

Четирите таблети, които ни интересуват тук, ще наречем Yale таблет YBC 7289, Plimpton 322 (показан по -долу), таблет Susa и таблет Tell Dhibayi. Нека кажем малко за тези таблети, преди да опишем математиката, която съдържат.

Таблетката Yale YBC 7289, която описваме, е една от голямата колекция от таблети, съхранявана във вавилонската колекция на Йейл на университета в Йейл. Състои се от таблет, на който се появява диаграма. Диаграмата е квадрат със страна 30 с начертани диагонали. Таблетката и нейното значение бяха обсъдени за първи път в [5] и наскоро в [18].


Plimpton 322 е таблетът с номер 322 в колекцията на G A Plimpton, която се помещава в Колумбийския университет.


Можете да видите от снимката, че горният ляв ъгъл на таблета е повреден и има голям чип от таблета около средата на дясната страна. Датата му не е известна точно, но е поставена между 1800 г. пр. Н. Е. И 1650 г. пр. Н. Е. Смята се, че това е само част от по -голяма таблетка, останалата част от която е била унищожена и първоначално се смяташе, както и много други такива таблети, за запис на търговски сделки. Въпреки това в [5] Neugebauer и Sachs дават ново тълкуване и оттогава то е обект на огромен интерес.

Таблетката Susa е открита в днешния град Шуш в района на Хузистан в Иран. Градът е на около 350 км от древния град Вавилон. W K Loftus идентифицира това като важен археологически обект още през 1850 г., но разкопките са извършени едва много по -късно. Конкретната таблетка, която ни интересува тук, изследва как да се изчисли радиусът на окръжност през върховете на равнобедрен триъгълник.

Най -накрая таблетът Tell Dhibayi беше една от около 500 таблетки, открити близо до Багдад от археолози през 1962 г. Повечето се отнасят до управлението на древен град, който процъфтява по времето на Ибалпиел II от Ешуна и датира от около 1750 г. Конкретната таблетка, която ни засяга, не е свързана с администрирането, а такава, която представлява геометричен проблем, който иска размерите на правоъгълник, чиято площ и диагонал са известни.

Преди да разгледаме математиката, съдържаща се в тези четири плочи, трябва да кажем малко за тяхното значение за разбирането на обхвата на вавилонската математика. Първо, трябва да внимаваме да не четем в ранните математически идеи, които днес можем да видим ясно, които никога не са били в съзнанието на автора. Обратно, трябва да внимаваме да не подценяваме значението на математиката само защото тя е произведена от математици, които мислят много по -различно от днешните математици. Като последен коментар за това, което тези четири плочи ни казват за вавилонската математика, трябва да внимаваме да осъзнаем, че почти всички математически постижения на вавилонците, дори и всички те да са записани на глинени плочи, ще бъдат загубени и дори ако тези четири може да се разглежда като особено важен сред оцелелите, те може да не представляват най -доброто от вавилонската математика.

Няма проблем да се разбере за какво е таблетът Yale YBC 7289.


Ето един a Схема на таблета Yale


На него има диаграма на квадрат с 30 от едната страна, диагоналите са начертани и близо до центъра е написано 1, 24, 51, 10 и 42, 25, 35. Разбира се, тези числа са написани с вавилонски цифри до основа 60. Вижте нашата статия за вавилонските цифри. Сега вавилонските числа винаги са двусмислени и не се появяват указания къде завършва целочислената част и започва дробната част. Ако приемем, че първото число е 1 24, 51, 10, тогава преобразуването му в десетичен знак дава 1. 414212963, докато √ 2 = 1. 414213562. Изчисляването на 30 × [1 24, 51, 10] дава 42 25, 35, което е второто число. Диагоналът на квадрат от страна 30 се намира чрез умножаване 30 по приближението до √ 2.

Това показва добро разбиране на теоремата на Питагор.Въпреки това, още по -важен е въпросът как вавилонците са намерили това забележително добро приближение до √ 2. Няколко автори, например вж. [2] и [4], предполагат, че вавилонците са използвали метод, еквивалентен на метода на Херон. Предложението е, че са започнали с предположение, да речем x x x. След това те откриха e = x 2- 2 e = x^ <2>- 2 e = x 2- 2, което е грешката. Тогава

Това със сигурност е възможно и разбирането на вавилонците за квадратиката добавя известна тежест към твърдението. Въпреки това няма доказателства, че алгоритъмът се използва в други случаи и използването му тук трябва да остане не повече от доста отдалечена възможност. Мога ли [EFR] да предложа алтернатива. Вавилонците са създали таблици с квадрати, всъщност цялото им разбиране за умножение е изградено върху кръгове, така че може би по -очевиден подход за тях би бил да направят две предположения, едно високо и едно ниско, да каже a a a и b b b. Вземете средната им стойност a + b 2 Large frac 2 2 a + b и го квадрат. Ако квадратът е по -голям от 2, тогава заменете b b b с тази по -добра граница, докато ако квадратът е по -малък от 2, тогава заменете a a a с a + b 2 Large frac 2 2 a + b. Продължете с алгоритъма.

Това със сигурност отнема още много стъпки, за да се достигне шестнадесетичното приближение 1 24, 51, 10. Всъщност, започвайки с a = 1 a = 1 a = 1 и b = 2 b = 2 b = 2, са необходими 19 стъпки, както показва таблицата по -долу: Вавилонците обаче не се страхуват от изчисленията и може би са били готови да продължат това просто изчисление, докато отговорът не е бил верен на третото шестнадесетично място.


След това отново разглеждаме Plimpton 322


Таблетката има четири колони с 15 реда. Последната колона е най -простата за разбиране, тъй като дава номера на реда и така съдържа 1, 2, 3,. , 15 . Забележителният факт, който Neugebauer и Sachs посочват в [5], е, че във всеки ред квадратът на числото c c c в колона 3 минус квадрата на числото b b b в колона 2 е перфектен квадрат, да речем h h h.

Така че таблицата е списък с питагорейски цели числа. Сега това не е съвсем вярно, тъй като Нойгебауер и Сакс смятат, че писарят е направил четири грешки при транскрипцията, по две във всяка колона и това тълкуване е необходимо, за да накара правилото да работи. Грешките лесно се разглеждат като истински грешки, но например 8, 1 е копиран от писаря като 9, 1.

Няколко историци (вижте например [2]) предполагат, че колона 1 е свързана с функцията на секант. Както обаче Джоузеф коментира [4]:-

Зееман направи очарователно наблюдение. Той е посочил, че ако вавилонците използват формулите h = 2 mn, b = m 2-n 2, c = m 2 + n 2 h = 2mn, b = m^<2> -n^<2>, c = m^ <2> + n^ <2> h = 2 mn, b = m 2 - n 2, c = m 2 + n 2 за генериране на питагорейски тройки, тогава има точно 16 тройки, удовлетворяващи n ≤ 60, 30 ° ≤ t ≤ 45 ° n ≤ 60, 30 ° ≤ t ≤ 45 ° n ≤ 6 0, 3 0 ° ≤ t ≤ 4 5 ° и tan ⁡ 2 t = h 2 / b 2 tan^<2> t = h ^ <2> / b^ <2> tan 2 t = h 2 / b 2 с крайно шестнадесетично разширение (което е еквивалентно на m, n, bm, n, bm, n, b с 2, 3 и 5 като техните единствени основни делители). Сега 15 от 16 -те питагорейски тройки, отговарящи на условията на Зееман, се появяват в Plimpton 322. Това ли е най -ранната известна теорема за математическа класификация? Въпреки че не мога да повярвам, че Зиман е съвсем прав, чувствам, че обяснението му трябва да е на прав път.

За да дадем справедливо обсъждане на Plimpton 322, трябва да добавим, че не всички историци са съгласни, че тази плоча засяга питагорейските тройки. Например Екзархакос в [17] твърди, че таблетът е свързан с решението на квадратни уравнения и няма нищо общо с питагорейските тройки:-

Таблетката Susa поставя проблем за равнобедрен триъгълник със страни 50, 50 и 60. Проблемът е да се намери радиусът на окръжността през трите върха.


Питагор ' Друга теорема: Кратка история на вегетарианството

Наскоро в седмичната си програма за радиоразпространение на наследството „Вкус от миналото“ Линда Пеласио интервюира Рин Бери, автор и исторически съветник на Северноамериканското вегетарианско общество.

Бери е вегетарианец, откакто като тийнейджър научи, че животните изпитват безпокойство преди клането. Оттогава вегетарианството му се е превърнало във вегански начин на живот, което означава, че изключва всички животински продукти, включително мед, не само от диетата си, но и от облеклото си.

С Пеласио Бери обсъжда траекторията на вегетарианството, което е документирана част от историята от шести век пр.н.е. Според Бери първото вегетарианско общество е основано от древногръцкия математик Питагор (ключов играч в геометрията на девети клас). Питагор не само демистифицира триъгълници, но и разпространява евангелието на Буда, съвременник на Питагор, който го вдъхновява лично да практикува ненасилствено вегетарианство. За Питагор, въздържането от месо се корени в духовните му ценности, храненето ще се превърне в фактор в диетата чак много по -късно в историята. Всъщност диета, лишена от всякакви животински продукти, всъщност се нарича „питагорейска“ диета до 1944 г., когато Доналд Уотсън, основател на Веганското общество, въвежда думата веган. Вегетарианството е документирано за първи път през 1848 г., най -вероятно от учен от Оксфорд.

Бери е написал няколко книги за вегетарианството, включително Известни вегетарианци. Известни хора, които се въздържат от месо, включват Бенджамин Франклин, когото Бери описва като „единственият баща основател, който има връзка с вегетарианството“, както и Джордж Бернард Шоу, на когото екип от лекари е казал, че трябва да яде месо или да гладува. Той не само не е гладувал, той е живял до 94 -годишна възраст.

Други вегетарианци от 19 -ти век наследиха имената си в днешния лексикон за индустриална храна. Джон Харви Келог, адвентист от седмия ден и изобретател на царевични люспи, създава зърнените култури като алтернативен вариант за безмесна закуска. Силвестър Греъм, презвитериански служител, проповядващ за умереност, пълнозърнести храни и вегетарианска диета, създаде крекер, който смята, че е хранително превъзходен продукт. Ентусиастите на S'mores могат да бъдат спокойни, че съвременната версия на любимото лагерно огънче, бисквитката Graham, не прилича много на оригиналния прототип.

Траекторията на вегетарианството е особено интересна, особено в Америка, където историята е записала своя ренесанс на няколко пъти. Първите вегетарианци, които посочих в тази статия, бяха вдъхновени от съответните религии да се придържат към диета без месо. Целите им може да са били различни, но общият импулс беше духовното чувство за яснота, което се смяташе за постигнато чрез хранене, лишено от плът. Едва през 20 -ти век Америка приема вегетарианството по светски начин. Поколението на бейби бумерите, подтикнато от насилието през 60-те години и пренебрегнато от заплахите от предстоящи екологични бедствия, до голяма степен прие диета, вдъхновена от екологията и желание да се доближи до Земята. По времето, когато емблематичната книга на Франсис Мур Лапе, Диета за малка планета (1971), беше публикуван, вегетарианството е намерило своя път в мейнстрийм колективното съзнание на Америка.

Днес наблюдаваме вегетариански редукс. От една страна, храненето се почита в обществото и диетата без месо се е превърнала в приемлива отправна точка към здравословния начин на живот. Дори екстремните версии на вегетарианството, като веганството и диетите със сурова храна, започнаха да свалят стигмата си. Уилям Джеферсън Клинтън, който не беше основател, но е обичан бивш президент, беше откровен за драстичния си преход от диета с бързо хранене към строга веганска диета. Rynn Berry би посочила Клинтън като „коронарен вегетарианец“, някой, който преминава към растителна диета по препоръка на своя лекар след сърдечен удар или тежка процедура. Вероятно вдъхновени от бившия си президент, или може би просто яздейки настоящата вълна от тенденции, американският народ е изслушал литания от завещания от известни личности, които се кълнат в новите си диети без месо. Рядко етиката е стимул, а импулсът, фокусиран върху храненето, е създал напречно сечение от играчи в ъгъла на „Искам месото си“ и „Искам и аз да се чувствам добре“. Този нов бизнес, който иска да остане здрав, без да жертва апетита за вкус, е вдъхновил движения като „Понеделник без месо“, който насърчава ангажимента да се яде по -ниско по хранителната верига, без да се налага да се яде студена пуйка. Или студен тофурки, в зависимост от случая.

Виждаме, че етичната отдаденост на диета без жестокост е смекчена и популяризирана чрез пренасочване на фокуса. Да, все още се грижим за животните, но сега, когато знаем, че можем да консумираме същества, които са живели здрав и щастлив живот, вече не е нужно да се стресираме, че кръвта им остава върху ръцете ни. Важно е да се отбележи, че само пет процента от американците се идентифицират като вегетарианци и за по -голямата част от населението, което яде месо, има други начини за въздействие върху околната среда и собственото здраве по силен и положителен начин. Настояването за разнообразие от породи в предлагането на месо и закупуването само на устойчиво отглеждан добитък са ефективни и важни избори, които месоядците трябва да обмислят. Само по себе си вегетарианството усложнява дълбоките отношения между животновъдството и млечната промишленост, което води до значителен дебат при избора да се изключи месото от диетата, но не и сиренето и млякото. Независимо от избора, който правите в диетата си, колкото повече точките са свързани между здравето, състраданието и екологията, толкова по -подхранваща ще бъде вашата диета за ума и тялото ви.

Чуйте оригиналното интервю между Линда Пеласио и Рин Бери тук.

За да научите повече за Rynn Berry и неговите книги за вегетарианството, щракнете тук.


Питагорейската теорема: Пътят на истината - история

Нека изградим квадрати от страните на правоъгълен триъгълник. Тогава теоремата на Питагор твърди, че сумата от (площите на) два малки квадрата е равна (площта) на големия.

В алгебричен план, a 2 + b 2 = c 2 където ° С е хипотенузата докато а и б са страните на триъгълника.

Теоремата е от основно значение в Евклидовата геометрия, където служи като основа за определяне на разстоянието между две точки. Толкова е елементарно и добре известно, че според мен всеки, който е ходил на часове по геометрия в гимназията, няма как да не го запомни дълго след като другите математически понятия са били напълно забравени.

Планирам да представя няколко геометрични доказателства на питагорейската теорема. Импулс за тази страница беше осигурен от забележителен Java аплет, написан от Jim Morey. Това представлява първото доказателство на тази страница. Един от първите ми аплети на Java е написан, за да илюстрира друго евклидово доказателство. В момента има няколко Java илюстрации на различни доказателства, но по -голямата част са представени в обикновен HTML с прости графични диаграми.

Забележка

Твърдението на теоремата е открито на вавилонски плоча около 1900-1600 г. пр.н.е. Дали Питагор (c.560-c.480 пр.н.е.) или някой друг от неговото училище е първият, който открива доказателството му, не може да се твърди с никаква степен на достоверност. Евклид (около 300 г. пр.н.е.) Елементи предоставят първата, а по -късно и стандартната справка в геометрията. Аплетът на Джим Мори следва предложението I.47 (Първа книга, предложение 47), моето VI.31. Теоремата е обратима, което означава, че триъгълник, чиито страни отговарят на 2 +b 2 = c 2, е под прав ъгъл. Евклид е първият (I.48), който споменава и доказва този факт.

У. Дънам [Математическа вселена] цитира книга Питагоровото предложение от професор от началото на 20 -ти век Елиша Скот Лумис. Книгата е колекция от 367 доказателства на питагорейската теорема и е преиздадена от NCTM през 1968 г.

Питагоровата теорема обобщава пространства с по -високи измерения. Някои от обобщенията далеч не са очевидни.

Лари Хон излезе с плоско обобщение, което е свързано със закона на косинусите, но е по -кратко и изглежда по -хубаво.

Теоремата, чиято формулировка води до представата за евклидово разстояние и евклидово и хилбертово пространство, играе важна роля в математиката като цяло. Започнах да събирам математически факти, чието доказателство може да се основава на питагорейската теорема.

(EWD) знак (a + b - g) = знак (a 2 + b 2 - c 2),

където знак (t) е функцията за регистрация:

Теоремата, на която е посветена тази страница, се третира като „Ако тогава Дейкстра заслужено намери (EWD) по -симетрична и по -информативна. Отсъствието на трансцендентални величини (p) се оценява като допълнително предимство.

Доказателство №2

Започваме с два квадрата със страни а и б, съответно, поставени един до друг. Общата площ на двата квадрата е a 2 +b 2 .

Конструкцията не започна с триъгълник, но сега нарисуваме два от тях, и двете със страни а и б и хипотенуза ° С. Обърнете внимание, че сегментът, общ за двата квадрата, е премахнат. Следователно в този момент имаме два триъгълника и странно изглеждаща форма.

Като последна стъпка, завъртаме триъгълниците на 90 o, всеки около горния си връх. Десният се завърта по посока на часовниковата стрелка, докато левият триъгълник се завърта обратно на часовниковата стрелка. Очевидно получената форма е квадрат със страната c и площ c 2 .

(Вариант на това доказателство се намира в съществуващ ръкопис на Th & acircbit ibn Qurra, намиращ се в библиотеката на Aya Sofya Musium в Турция, регистриран под номер 4832. [Р. Шломинг, Th & acircbit ibn Qurra и Питагорейската теорема, Учител по математика 63 ( Октомври 1970 г.), 519-528]. Диаграмата на ибн Кура е подобна на тази в доказателство #27. Самото доказателство започва с отбелязването на наличието на четири равни правоъгълни триъгълника, заобикалящи странно изглеждаща форма, както в настоящото доказателство №2. четири триъгълника съответстват по двойки на началната и крайната позиция на въртящите се триъгълници в текущото доказателство. Същата конфигурация може да се наблюдава при доказателство чрез теселация.)

Доказателство #3

Сега започваме с четири копия на същия триъгълник. Три от тях са завъртени съответно на 90 o, 180 o и 270 o. Всеки има площ ab/2. Нека ги съберем без допълнителни завъртания, така че да образуват квадрат със страна ° С.

Квадратът има квадратна дупка със страната, сумираща нейната площ и 2ab, площта на четирите триъгълника (4 & middotab/2), получаваме

Доказателство #4

Четвъртият подход започва със същите четири триъгълника, с изключение на това, че този път те се комбинират, за да образуват квадрат със страната (a+b) и дупка със страната ° С. Можем да изчислим площта на големия квадрат по два начина. Поради това

(a + b) 2 = 4 & middotab/2 + ° С 2

опростявайки това, което получаваме необходимата идентичност.

Доказателство #5

Това доказателство, открито от президента J.A. Гарфийлд през 1876 г. [Папас], е вариация на предишната. Но този път изобщо не рисуваме квадрати. Ключът сега е формулата за площта на трапеца - половината сума на базите умножава надморската височина - (a+b)/2 & middot (a+b). Разглеждайки картината по друг начин, това също може да се изчисли като сумата от областите на трите триъгълника - ab/2 + ab/2 + ° С& middot° С/2. Както и преди, опростяванията дават резултат a 2 +b 2 = c 2 .

Две копия на един и същ трапец могат да се комбинират по два начина, като се прикрепят по наклонената страна на трапеца. Едното води до доказателство #4, другото до доказателство #52.

Доказателство #6

Започваме с оригиналния триъгълник, сега обозначен с ABC, и се нуждаем само от една допълнителна конструкция - надморската височина AD. Триъгълниците ABC, BDA и ADC са сходни, което води до две съотношения:

AB/BC = BD/AB и AC/BC = DC/AC.

Написано по друг начин

AB & middotAB = BD & middotBC и AC & middotAC = DC & middotBC

В частна кореспонденция д -р Франс Дакар, Любляна, Словения, предполага, че диаграмата вдясно може да служи за две цели. Първо, той дава допълнително графично представяне на настоящото доказателство #6. В допълнение, той подчертава връзката на последното с доказателство №1.

Доказателство #7

Следващото доказателство е взето дословно от Евклид VI.31 в превод на сър Томас Л. Хийт. Великият Г. Поля го анализира в своята „Индукция и аналогия в математиката“ (II.5), която е препоръчително четиво за ученици и учители по математика.

При правоъгълни триъгълници фигурата от страната, подчиняваща се на прав ъгъл, е равна на подобни и описани по същия начин фигури от страните, съдържащи правилния ъгъл.

Нека ABC е правоъгълен триъгълник с ъгъл BAC вдясно, казвам, че фигурата на BC е равна на подобни и аналогично описани фигури на BA, AC.

Нека AD се начертае перпендикулярно. Тогава, тъй като в правоъгълния триъгълник ABC, AD е изтеглен от прав ъгъл при A, перпендикулярен на основата BC, триъгълниците ABD, ADC, прилежащи към перпендикуляра, са подобни както на целия ABC, така и един на друг [VI.8 ].

И тъй като ABC е подобен на ABD, следователно, както CB е към BA, така и AB към BD [VI.Def.1].

И тъй като три прави линии са пропорционални, тъй като първата е спрямо третата, така е и фигурата на първата към подобна и подобно описана фигура на втората [VI.19]. Следователно, както CB е към BD, така и цифрата на CB е подобна и подобно описаната цифра на BA.

По същата причина също, както BC е към CD, така и цифрата на BC спрямо тази на CA, така че освен това, както BC е към BD, DC, така е и цифрата на BC към подобни и подобно описани цифри на BA, AC.

Но BC е равно на BD, DC, следователно цифрата на BC също е равна на подобни и описани по подобен начин цифри на BA, AC.

Изповед

Получих истинска оценка на това доказателство едва след като прочетох книгата на Поля, която споменах по -горе. Надявам се, че Java аплет ще ви помогне да стигнете до дъното на това забележително доказателство. Обърнете внимание, че действително доказаното твърдение е много по -общо от общоизвестната теорема.

Доказателство #8

Играейки с аплета, който демонстрира доказателството на Евклид (#7), открих друго, което, макар и грозно, все пак служи на целта.

По този начин, започвайки с триъгълника 1, добавяме още три по начина, предложен в доказателство #7: подобни и описани по същия начин триъгълници 2, 3 и 4. Извеждайки няколко съотношения, както беше направено в доказателство #6, стигаме до дължините на страните като изобразено на диаграмата. Сега е възможно да се погледне крайната форма по два начина:

  • като обединение на правоъгълника (1+3+4) и триъгълника 2, или
  • като обединение на правоъгълника (1+2) и два триъгълника 3 и 4.

ab/c & middot (a 2 + b 2)/c + ab/2 = ab + (ab/c & middot a 2/c + ab/c & middot b 2/c)/2

ab/c & middot (a 2 +b 2)/c/2 = ab/2, или (a 2 +b 2)/c 2 = 1

Забележка

Като се има предвид, има по -просто доказателство. Погледнете правоъгълника (1+3+4). Дългата му страна е, от една страна, обикновена c, докато, от друга страна, това е 2 /c+b 2 /c и отново имаме същата идентичност.

Доказателство #9

Друго доказателство произтича от пренареждане на твърди парчета, подобно на доказателство №2. Това прави алгебричната част на доказателство #4 напълно излишна. Не можете да добавите нищо към двете снимки.

(Искрено благодаря на Monty Phister за любезното разрешение да използва графиките.)

Доказателство #10

Това и следващите 3 доказателства идват от [PWW].

Триъгълниците в Доказателство #3 могат да бъдат пренаредени по още един начин, който прави питагорейската идентичност очевидна.

(По -изяснителна диаграма вдясно ми беше любезно изпратена от Монти Фистър.)

Доказателство #11

Начертайте окръжност с радиус c и десен триъгълник със страни a и b, както е показано. В тази ситуация човек може да приложи някой от няколко добре известни факта. Например, на диаграмата три точки F, G, H, разположени на окръжността, образуват друг правоъгълен триъгълник с височина FK с дължина a. Неговата хипотенуза GH се разделя в съотношението (c+b)/(c-b). Така че, както в Доказателство #6, получаваме 2 = (c+b) (c -b) = c 2 - b 2.

Доказателство #12

Това доказателство е вариант на #1, едно от оригиналните доказателства на Евклид. В части 1,2 и 3 двата малки квадрата са срязани един към друг, така че общата засенчена площ остава непроменена (и равна на 2 +b 2.) В част 3 дължината на вертикалната част на засенчената границата на областта е точно с, защото двата останали триъгълника са копия на оригиналния. Това означава, че човек може да се плъзне надолу по засенчената област, както в част 4. Оттук лесно следва Питагоровата теорема.

(Това доказателство може да се намери в H. Eves, В математически кръгове, MAA, 2002, стр. 74-75)

Доказателство #13

В диаграмата има няколко подобни триъгълника (abc, a'b'c ', a'x и b'y.) Последователно имаме

y/b = b '/c, x/a = a'/c, cy + cx = aa ' + bb'.

И накрая, cc '= aa' + bb '. Това много прилича на Proof #6, но резултатът е по -общ.

Доказателство #14

Това доказателство на Н. Д. Дудни (1917) започва с разрязване на квадрата от по -голямата страна на четири части, които след това се комбинират с по -малката, за да образуват квадрата, построен върху хипотенузата.

Грег Фредериксън от университета в Пърдю, автор на наистина илюстрираща книга, Дисекции: Самолет и фантазия (Cambridge University Press, 1997), посочи историческата неточност:

Приписахте доказателство № 14 на Н. Пр. Dudeney (1917), но всъщност е публикуван по -рано (1873) от Хенри Перигал, лондонски брокер. Друго доказателство за дисекция се появи много по -рано, дадено от арабския математик/астроном Табит през десети век. Включих подробности за тези и други доказателства за дисекции (включително доказателства за Закона на косинусите) в скорошната си книга „Дисекции: самолет и фантазия“, Cambridge University Press, 1997 г. Може да се насладите на уеб страницата на книгата:

Бил Каселман от Университета на Британска Колумбия секунди информацията на Грег. Моят дойде от Доказателства без думи от R.B.Nelsen (MAA, 1993).

Доказателство #15

Това забележително доказателство от К. О. Фридрихс е обобщение на предишното от Дюдни. Наистина е общо. Това е общо в смисъл, че от него може да се извлече безкрайно разнообразие от специфични геометрични доказателства. (Роджър Нелсен приписва [PWWII, p 3] това доказателство на Анайризи от Арабия (ок. 900 г. сл. Хр.))

Доказателство #16

Това доказателство се приписва на Леонардо да Винчи (1452-1519) [Eves]. Четириъгълниците ABHI, JHBC, ADGC и EDGF са равни. (Това следва от наблюдението, че ъгълът ABH е 45 o. Това е така, защото ABC е прав ъгъл, като по този начин център O на квадрата ACJI лежи върху окръжността, описваща триъгълника ABC. Очевидно ъгъл ABO е 45 o.) Сега, площ (ABHI)+площ (JHBC) = площ (ADGC)+площ (EDGF). Всяка сума съдържа две области на триъгълници, равни на ABC (IJH или BEF), премахвайки която се получава Питагоровата теорема.

Дейвид Кинг донякъде променя аргумента

Дължините на страните на шестоъгълниците са идентични. Ъглите при P (прав ъгъл + ъгъл между a & c) са идентични. Ъглите в Q (прав ъгъл + ъгъл между b & c) са идентични. Следователно и четирите шестоъгълника са идентични.

Доказателство #17

Това доказателство се появява в книга IV на Математическа колекция от Папус Александрийски (около 300 г. сл. н. е.) [Eves, Папас]. Той обобщава Питагоровата теорема по два начина: не се изисква триъгълникът ABC да бъде прав ъгъл, а формите, изградени от страните му, са произволни паралелограми вместо квадрати. По този начин изградете паралелограми CADE и CBFG на страни AC и съответно BC. Нека DE и FG се срещнат в H и нарисуват AL и BM успоредни и равни на HC. Тогава площ (ABML) = площ (CADE)+площ (CBFG). Всъщност, с трансформацията на рязане, вече използвана в доказателства #1 и #12, площ (CADE) = площ (CAUH) = площ (SLAR), а също и площ (CBFG) = площ (CBVH) = площ (SMBR). Сега просто добавете това, което е равно.

Доказателство #18

Това е друго обобщение, което не изисква прави ъгли. Това се дължи на Th & acircbit ibn Qurra (836-901) [Eves]. Ако ъглите CAB, AC'B и AB'C са равни, тогава триъгълниците ABC, AC'B и AB'C са сходни. Така имаме и което веднага води до необходимата идентичност. В случай, че ъгълът A е прав, теоремата се свежда до питагорейското предложение и доказателство #6.

Доказателство #19

Това доказателство е вариация на #6. На малката страна AB добавете правоъгълен триъгълник ABD, подобен на ABC. Тогава, естествено, DBC е подобен на другите два. От AD = AB 2/AC и BD = AB & middotBC/AC извеждаме Разделянето по AB/AC води до

Доказателство #20

Това е кръстоска между #7 и #19. Постройте триъгълници ABC ', BCA' и ACB ', подобни на ABC, както е на диаграмата. По конструкция, В допълнение, триъгълниците ABB 'и ABC' също са равни. Така заключаваме, че от сходството на триъгълниците получаваме както преди B'C = AC 2 /BC и BC '= AC & middotAB /BC. Сглобяването на всичко заедно дава резултат, който е същият като

Доказателство #21

По -долу е извадка от писмо на д -р Скот Броуди от Медицинското училище в Маунт Синай, Ню Йорк, който ми изпрати няколко доказателства за истинската теорема и нейното обобщение към Закона на косинусите:

Първото доказателство, което просто прехвърлям от отличното обсъждане в поредицата Project Mathematics, основано на теоремата на Птолемей за четириъгълници, вписани в окръжност: за такива четириъгълници сумата от произведенията на дължините на противоположните страни, взети по двойки, е равна на произведение на дължините на двата диагонала. В случай на правоъгълник, това намалява веднага до 2 + b 2 = c 2.

Доказателство #22

Ето второто доказателство от писмото на д -р Скот Броди.

Взимаме известни теореми за „степен на точката“: Ако точка се вземе външно от окръжност и от нея се изтегли сегмент, допиращ се до окръжността, и се изчертае друг сегмент (секант), който разрязва окръжността на две различни точки, тогава квадратът на дължината на допирателната е равен на произведението на разстоянието по секанта от външната точка до по -близката точка на пресичане с окръжността и разстоянието по секанта до по -далечната точка на пресичане с кръг.

Нека ABC е правоъгълен триъгълник, с прав ъгъл в C. Начертайте височината от C до хипотенузата, нека P обозначава подножието на тази височина. Тогава, тъй като CPB е прав, точката P лежи върху окръжността с диаметър BC и тъй като CPA е права, точката P лежи върху окръжността с диаметър AC. Следователно пресечната точка на двата кръга по катетите BC, CA на оригиналния правоъгълен триъгълник съвпада с P и по -специално лежи върху AB. Позначете с х и y дължините на сегментите BP и PA съответно и, както обикновено, нека а, б, в означават дължините на страните на ABC срещу ъглите A, B, C съответно. Тогава, х + y = ° С.

Тъй като ъгъл C е прав, BC е допирателна към окръжността с диаметър CA, а теоремата за степента твърди, че а 2 = xc по подобен начин AC е допирателна към окръжността с диаметър BC и b 2 = yc. Като добавим, намираме а 2 + b 2 = xc + yc = c 2 , Q.E.D.

Д -р Броуди също създаде SketchPad файл на Geometer, за да илюстрира това доказателство.

Доказателство #23

Друго доказателство се основава на формулата на Heron, която вече използвах в Proof #7 за показване на триъгълни области. Това е доста сложен начин да се докаже питагорейската теорема, която въпреки това отразява централността на теоремата в геометрията на равнината.

Доказателство #24

[Swetz] приписва това доказателство на abu 'l'Hasan Th & acircbit ibn Qurra Marw & acircn al'Harrani (826-901). Това е второто от доказателствата, дадени от Th & acircbit ibn Qurra. Първият е по същество номер 2 по -горе.

Доказателството прилича на част 3 от доказателство #12. ABC = FLC = FMC = BED = AGH = FGE. От една страна, областта на формата ABDFH е равна на AC 2 + BC 2 + площ (ABC + FMC + FLC). От друга страна, площ (ABDFH) = AB 2 + площ (BED + FGE + AGH).

Това е "разгънат" вариант на горното доказателство. Две петоъгълни области - червената и синята - очевидно са равни и напускат една и съща област при отстраняване на три равни триъгълника от всяка.

Доказателството се популяризира от Монти Фистър, автор на неподражаемия Gnarly Math CD ROM.

Доказателство #25

Б. Ф. Яни (1903, [Swetz]) даде доказателство, използвайки „плъзгащия аргумент“, също използван в доказателствата № 1 и № 12. Последователно областите на LMOA, LKCA и ACDE (което е AC 2) са равни, както и площите на HMOB, HKCB и HKDF (които BC 2). BC = DF. Така AC 2 + BC 2 = площ (LMOA) + площ (HMOB) = площ (ABHL) = AB 2.

Доказателство #26

Това доказателство, което открих на сайта, поддържано от Бил Каселман, където е представено от аплет на Java.

С всички горепосочени доказателства, това трябва да е просто. Подобни триъгълници като в доказателства #6 или #13.

Доказателство #27

Същите парчета, както в доказателство № 26, могат да бъдат пренаредени по друг начин.

Тази дисекция често се приписва на холандския математик от 17 век Франс ван Шутен. [Фредериксън, стр. 35] го разглежда като шарнирен вариант на един от ибн Кура, вижте бележката в скоби след доказателство #2. Д -р Франс Дакар от Словения посочи, че същата тази диаграма лесно се обяснява с теселация в доказателство № 15. Всъщност може да се обясни по -добре с различна теселация. (Благодарен съм на Дъглас Роджърс, че ми зададе това.)

Доказателство #28

Мелиса Бягаща от MathForum любезно ми изпрати връзка към Доказателство за Питагоровата теорема от Лю Хуей (трети век след Христа). Страницата се поддържа от Доналд Б. Вагнер, експерт по история на науката и технологиите в Китай. Диаграмата е реконструкция от писмено описание на алгоритъм от Liu Hui (трети век след Христа). За подробности се насочвате към оригиналната страница.

Доказателство #29

Механичното доказателство на теоремата заслужава собствена страница.

Уместно за това доказателство са странични „извънгеометрични“ доказателства на Питагоровата теорема от Скот Броди

Доказателство #30

Това доказателство намерих в продължението на Р. Нелсен Доказателства без думи II. (Това се дължи на Poo-sung Park и първоначално е публикувано в Списание по математика, Декември 1999 г.). Започвайки с една от страните на правоъгълен триъгълник, конструирайте 4 съвпадащи десни равнобедрени триъгълника с хипотенузи на всякакви следващи два перпендикуляра и върхове, далеч от дадения триъгълник. Хипотенузата на първия от тези триъгълници (в червено на диаграмата) трябва да съвпада с една от страните.

Върховете на равнобедрените триъгълници образуват квадрат със страна, равна на хипотенузата на дадения триъгълник. Хипотенузите на тези триъгълници изрязват страните на квадрата в техните средни точки. Така че изглежда да има 4 двойки равни триъгълници (една от двойките е в зелено). Един от триъгълниците в двойката е вътре в квадрата, другият е отвън. Нека страните на първоначалния триъгълник са a, b, c (хипотенуза). Ако първият равнобедрен триъгълник е построен от страна b, тогава всеки има площ b 2/4. Ние добиваме

Ето една динамична илюстрация и друга диаграма, която показва как да се дисектират два по -малки квадрата и да се пренареждат в големия.

Доказателство #31

Като се има предвид правилен ABC, нека, както обикновено, означаваме дължините на страни BC, AC и тази на хипотенузата съответно като a, b и c. Изправете квадратчета от страните BC и AC, както е на диаграмата. Според SAS триъгълниците ABC и PCQ са равни, така че Let M е средната точка на хипотенузата. Обозначете пресечната точка на MC и PQ като R. Нека покажем това

Медианата на хипотенузата е равна на половината от последната. Следователно, CMB е равнобедрен и Но ние също имаме От тук и следва, че ъгълът CRP е прав, или

С тези предварителни мерки се обръщаме към триъгълници MCP и MCQ. Ние оценяваме техните области по два различни начина:

От една страна, надморската височина от M до PC е равна на AC/2 = b/2. Но също така, От друга страна, По подобен начин и също

Можем да обобщим двете идентичности: или

(Моята благодарност е към Floor van Lamoen, който привлече вниманието ми към това доказателство. То се появи в Питагор - холандско математическо списание за ученици - в броя от декември 1998 г., в статия от Бруно Ернст. Доказателството се приписва на американска гимназистка от 1938 г. на име Ан Кондит.)

Доказателство #32

Нека ABC и DEF са два съвпадащи правоъгълни триъгълника, така че B лежи върху DE и A, F, C, E са колинеарни. ,,. Очевидно изчислете площта на ADE по два различни начина.

Площ (ADE) = AB & middotDE /2 = c 2 /2, а също и CE може да се намери от подобни триъгълници BCE и DFE: Сглобявайки нещата, получаваме

(Това доказателство е опростяване на едно от доказателствата на Мишел Уоткинс, студентка в Университета на Северна Флорида, което се появи през Математически спектър 1997/98, v30, n3, 53-54.)

Дъглас Роджърс отбеляза, че същата диаграма може да се третира по различен начин:

Доказателство 32 може да бъде подредено малко по -късно, по подобие на по -късните доказателства, добавени наскоро, и така да се избегнат подобни триъгълници.

Разбира се, ADE е триъгълник на база DE с височина AB, така че с площ cc/2.

Но тя може да бъде разчленена на триъгълника FEB и четириъгълника ADBF. Първият има основа FE и височина BC, така че площ aa/2. Последният от своя страна се състои от два триъгълника гръб към гръб на база DF с комбинирани височини AC, така че площта bb/2. Една алтернативна дисекция вижда триъгълника ADE като състоящ се от триъгълник ADC и триъгълник CDE, който от своя страна се състои от два триъгълника гръб към гръб на основа BC, с комбинирани височини EF.

Следващите две доказателства придружават следното съобщение от Шай Симонсън, професор в Stonehill College в Кеймбридж, Масачузетс:

С удоволствие разглеждах вашия сайт и се натъкнах на дългия списък с доказателства за теорията на Pyth.

В моя курс "История на математическата изобретателност" използвам две доказателства, които използват вписана окръжност в правоъгълен триъгълник. Всяко доказателство използва две диаграми и всяко е различен геометричен изглед на едно алгебрично доказателство, което открих преди много години и публикувах в писмо до учителя по математика.

Двете геометрични доказателства не изискват думи, но изискват малко размисъл.

Доказателство #33

Доказателство #34

Доказателство #35

Напуканият Domino - доказателство от Mario Pacek (известен още като Pakoslaw Gwizdalski) - също изисква известна мисъл.

Доказателството, изпратено по имейл, беше придружено от следното съобщение:

Това ново, изключително и изключително елегантно доказателство за вероятно най -фундаменталната теорема в математиката (победител по отношение на броя на доказателствата 367?) Превъзхожда всички известни на науката, включително китайците и теорията на Джеймс А. Гарфийлд (20 -ти президент на САЩ ), тъй като е директен, не включва никакви формули и дори децата в предучилищна възраст могат да го получат. Вероятно е идентичен с изгубения оригинал - но кой може да докаже това? Все още не е в Книгата на рекордите на Гинес!

Начинът, по който се комбинират парчетата, може да бъде оригинален. Самата дисекция е добре известна (виж Доказателства 26 и 27) и е описана в книгата на Фредериксън, стр. 29. Там се отбелязва, че Б. Броди (1884) отбелязва, че подобна дисекция се отнася и за подобни правоъгълници. Дисекцията също е част от доказателството за суперпозицията от К. О. Фридрихс.

Доказателство #36

Това доказателство се дължи на J. E. B & oumlttcher и е цитирано от Нелсен (Доказателства без думи II, стр. 6).

Мисля, че разбиването на това доказателство без думи е добро упражнение за средния или гимназиалния клас по геометрия.

Доказателство #37

Аплет на Дейвид Кинг, който демонстрира това доказателство, е поставен на отделна страница.

Доказателство #38

Това доказателство ми беше съобщено и от Дейвид Кинг. Квадратите и 2 триъгълника се комбинират, за да получат два шестоъгълника с еднаква площ, които може да са установени както в доказателство № 9. Въпреки това, двата шестоъгълника теселират равнината.

За всеки шестоъгълник в лявата теселация има шестоъгълник в дясната теселация. И двете теселации имат една и съща решетъчна структура, която се демонстрира от аплет. Питагоровата теорема е доказана, след като два триъгълника са отстранени от всеки от шестоъгълниците.

Доказателство #39

(От J. Barry Sutton, The Math Gazette, v 86, n 505, март 2002 г., стр. 72)

Нека в ABC, ъгъл C = 90 o. Както обикновено, определете точки D и E на AB така, че

По конструкция C лежи върху окръжността с център A и радиус b. Ъгъл DCE удря диаметъра си и по този начин е прав: От това следва, че тъй като ACE е равнобедрен,

Триъгълниците DBC и EBC споделят DBC. Освен това, следователно, триъгълниците DBC и EBC са сходни. Имаме или

a 2 = c 2 - b 2,
a 2 + b 2 = c 2.

Диаграмата напомня едно от доказателствата на Th & acircbit ibn Qurra. Но двете са доста различни.

Доказателство #40

Тази е на Майкъл Харди от Университета в Толедо и е публикувана в The Mathematical Intelligencer през 1988 г. Тя трябва да бъде приета с доза.

Нека ABC е правоъгълен триъгълник с хипотенуза BC. Означаваме и След това, докато C се движи по линията AC, x се променя и y също. Да приемем, че x е променено с малко количество dx. След това y се промени с малко количество dy. Триъгълникът CDE може да се счита приблизително за десен. Ако приемем, че е така, той споделя един ъгъл (D) с триъгълник ABD и следователно е подобен на последния. Това води до пропорцията или (разделимо) диференциално уравнение

което след интегриране дава y 2 - x 2 = const. Стойността на константата се определя от първоначалното условие за Since за всички x.

Лесно е да се постави въпрос с това доказателство. Какво означава да бъде триъгълник? Мога да предложа следното обяснение. Триъгълниците ABC и ABD са правилни по конструкция. Имаме, а също и по Питагоровата теорема. По отношение на x и y теоремата изглежда така

x 2 + a 2 = y 2
(x + dx) 2 + a 2 = (y + dy) 2

което след изваждане дава

За малки dx и dy, dx 2 и dy 2 са дори по -малки и могат да бъдат пренебрегнати, което води до приблизителното

Номерът във винетката на Майкъл е да пропуснете въпроса за сближаването. Но може ли човек наистина да оправдае извеждането, без да се позовава първо на питагорейската теорема? Независимо от това, намирам за голямо удоволствие повсеместното уравнение да бъде поставено в този геометричен контекст.

Доказателство #41

Тази ми беше изпратена от Джефри Маркрейв от Lucent Technologies. Изглежда много като #8, но се стига по различен начин. Създайте 3 мащабирани копия на триъгълника със страни a, b, c, като го умножите по a, b и c на свой ред.Взети заедно, така получените три подобни триъгълника образуват правоъгълник, чиято горна страна е, докато долната страна е c 2. (Което също показва, че #8 може да е бил сключен по по -кратък начин.)

Също така, избирането само на два триъгълника води до вариант на доказателства #6 и #19:

В тази форма доказателството се появява в [Birkhoff, p. 92].

Още един вариант, който може да бъде свързан с #8, е изпратен от Джеймс Ф .:

Последният има близнак с a и b, които си разменят ролите.

Доказателство #42

Доказателството се основава на същата диаграма като #33 [Pritchard, p. 226-227].

Площта на триъгълник очевидно е rp, където r е кръгът и полупериметърът на триъгълника. След това от диаграмата хипотенузата или площта на триъгълника се изчислява по два начина:

(Доказателството се дължи на Джак Оливър и първоначално е публикувано в Математически вестник 81 (март 1997 г.), стр. 117-118.)

Доказателство #43

Приложете теоремата за мощността на точка към диаграмата по -горе, където страната a служи като допирателна към окръжност с радиус b: Резултатът следва веднага.

(Конфигурацията тук е по същество същата като в доказателство #39. Извикването на теоремата за степента на точка може да се разглежда като пряк път към аргумента в доказателство #39.)

Доказателство #44

Следното доказателство, свързано с #39, е представено от Адам Роуз (23 септември 2004 г.)

Започнете с два еднакви правоъгълни триъгълника: ABC и AFE, A средната точка на BE и CF. Маркирайте D върху AB и G при разширяване на AF, така че

(За допълнителни обозначения вижте горната диаграма.) BCD е равнобедрен. Следователно, тъй като ъгъл C е прав,

Тъй като AFE е външен за EFG, но EFG също е равнобедрен. Поради това

Сега имаме две линии, CD и EG, пресечени от CG с два алтернативни вътрешни ъгъла, ACD и AGE, равни. Следователно, CD || EG. Триъгълниците ACD и AGE са сходни и AD/AC = AE/AG:

и следва Питагоровата теорема.

Доказателство #45

Това доказателство се дължи на Дъглас Роджърс, който се натъкна на него в хода на своето разследване на историята на китайската математика. Двамата имат и онлайн версии:

Доказателството е вариант на #33, #34 и #42. Доказателството протича в две стъпки. Първо, както може да се види от

където d е диаметърът на окръжността, вписана в правоъгълен триъгълник със страни a и b и хипотенуза c. Въз основа на това и пренареждането на парчетата по два начина осигурява друго доказателство без думи на питагорейската теорема:

Доказателство #46

Това доказателство се дължи на Тао Тонг (учител по математика, февруари 1994 г., Размисли на читателя). Научих за това чрез добрите услуги на Дъглас Роджърс, които също ми представиха доказателства #47, #48 и #49. По дух доказателството прилича на доказателството #32.

Нека ABC и BED са равни прави триъгълници, като E върху AB. Ще оценим областта на ABD по два начина:

Използвайки нотациите, както е посочено в диаграмата, която получаваме, може да се намери, като се отбележи сходството на триъгълниците BFC и ABC:

Двете формули лесно се комбинират в питагорейската идентичност.

Доказателство #47

Това доказателство, което се дължи на ученик от гимназията Джон Кавамура, беше докладвано от Крис Дейвис, негов учител по геометрия в училище Head-Rouce, Оукланд, Калифорния (учител по математика, април 2005 г., стр. 518.)

Конфигурацията е почти идентична с тази на Proof #46, но този път се интересуваме от областта на четириъгълника ABCD. И двата му перпендикулярни диагонала имат дължина c, така че площта му е равна на c 2 /2. От друга страна,

Умножаването по 2 дава желания резултат.

Доказателство #48

(W. J. Dobbs, The Mathematical Gazette, 8 (1915-1916), стр. 268.)

В диаграмата два правоъгълни триъгълника - ABC и ADE - са равни и E се намира на AB. Както в доказателството на президент Гарфийлд, ние оценяваме площта на трапец ABCD по два начина:

където, както в доказателството #47, c & middotc е произведението на двата перпендикулярни диагонала на четириъгълника AECD. От друга страна,

Комбинирайки двете, получаваме c 2 /2 = a 2 /2 + b 2 /2, или след умножение по 2,

Доказателство #49

В предишното доказателство можем да продължим малко по -различно. Попълнете квадрат от страни AB и AD на двата триъгълника. Площта му е, от една страна, b 2, а от друга,

което представлява същата идентичност като преди.

Дъглас Роджърс, който наблюдава връзката между доказателствата 46-49, също отбелязва, че на по-малките крака на двата триъгълника би могъл да бъде начертан квадрат, ако вторият триъгълник е начертан в "най-долната" позиция, както в доказателства 46 и 47. В това В този случай отново ще оценим площта на четириъгълника ABCD по два начина. С позоваване на втората от диаграмите по -горе,

Той също така посочи, че е възможно да се мисли за един от правилните триъгълници като плъзгащ се от позицията си в доказателство #46 до позицията си в доказателство #48, така че късият му крак да се плъзга по дългия крак на другия триъгълник. Във всяка междинна позиция има четириъгълник с равни и перпендикулярни диагонали, така че за всички позиции е възможно да се конструират доказателства, аналогични на горните. Триъгълникът винаги остава в квадрат на страна b - дължината на дългия крак на двата триъгълника. Сега можем също да си представим триъгълника ABC да се плъзга вътре в този квадрат. Което води до доказателство, което директно обобщава #49 и включва конфигурации на доказателства 46-48. Виж отдолу.

Доказателство #50

Площта на големия квадрат KLMN е b 2. Квадратът е разделен на 4 триъгълника и един четириъгълник:

Това не е интересно извеждане, но показва, че когато се сблъскате със задача за опростяване на алгебричните изрази, умножаването през всички термини, за да се премахнат всички скоби, може да не е най -добрата стратегия. В този случай обаче има дори по -добра стратегия, която избягва напълно дългите изчисления. По предложение на Дъглас Роджърс, завършете всеки от четирите триъгълника до подходящ правоъгълник:

Четирите правоъгълника винаги отрязват квадрат с размер a, така че общата им площ да е b 2 - a 2. Така можем да завършим доказателството, както в другите доказателства от тази серия:

Доказателство #51

(W. J. Dobbs, The Mathematical Gazette, 7 (1913-1914), стр. 168.)

Това идва с любезното съдействие на Дъглас Роджърс от обширната му колекция. Както в Доказателство #2, триъгълникът се завърта на 90 o около един от ъглите си, така че ъгълът между хипотенузите в две позиции да е прав. Получената форма на площ b 2 след това се разчленява на два правоъгълни триъгълника със странични дължини и и области c 2 /2 и

Доказателство #52

Това доказателство, открито от ученик от гимназията, Джейми деЛемос (The Mathematics Teacher, 88 (1995), p. 79.), е цитиран от Larry Hoehn (The Mathematics Teacher, 90 (1997), pp. 438-441. )

От една страна, площта на трапеца е равна

Приравняването на двете дава 2 + b 2 = c 2.

Доказателството е тясно свързано с доказателството на президента Гарфийлд.

Доказателство #53

Лари Хон също публикува следното доказателство (Учителят по математика, 88 (1995), стр. 168.):

Удължете катета AC на десния триъгълник ABC до D така, че както е на диаграмата. В D нарисувайте перпендикуляр на CD. При A начертайте бисектриса на ъгъла BAD. Нека двете линии се срещнат в E. И накрая, нека EF е перпендикулярна на CF.

Чрез тази конструкция триъгълниците ABE и ADE споделят страна AE, имат равни други две страни: както и ъглите, образувани от тези страни: Следователно триъгълниците ABE и ADE са съвпадащи от SAS. От тук ъгълът ABE е прав.

От това следва, че в правоъгълните триъгълници ABC и BEF ъглите ABC и EBF се добавят до 90 o. Поради това

Двата триъгълника са сходни, така че

Но, EF = CD, или x = b + c, което в комбинация с горната пропорция дава

От друга страна, y = u + a, което води до

което лесно се опростява до c 2 = a 2 + b 2.

Доказателство #54k

По-късно (Учителят по математика, 90 (1997), стр. 438-441.) Лари Хон хвърли втори поглед върху доказателството си и представи общо, или по-скоро цяло семейство доказателства с 1 параметър, което за различни стойности на параметърът, включваше по -старото му доказателство, както и #41. По -долу предлагам опростен вариант, вдъхновен от работата на Лари.

За да възпроизведем основната точка на доказателство #53, т.е. като имаме правоъгълен триъгълник ABE и друг BEF, като последният е подобен на ABC, можем просто да поставим BEF със страни ka, kb, kc, за някои k, както е показано на диаграмата . За да има смисъл диаграмата, трябва да ограничим k, така че (Това гарантира, че D не отива под A.)

Сега площта на правоъгълника CDEF може да бъде изчислена директно като произведение на неговите страни ka и (kb + a), или като сума от площи на триъгълници BEF, ABE, ABC и ADE. Така получаваме

което след опростяване намалява до

което е само на една крачка от питагорейското предложение.

Доказателството работи за всяка стойност на k, удовлетворяваща kb/a. По -специално, защото получаваме доказателство #41. Освен това води до доказателство #53. Разбира се, бихме получили същия резултат, като представим площта на трапецовидния AEFB по два начина. Защото това би довело до доказателства на президента Гарфийлд.

Очевидно работата с трапец е по -малко ограничаваща и работи за всяка положителна стойност на k.


Питагорейската теорема: Пътят на истината - история


Департамент по математическо образование
J. Wilson, EMT 669

Питагоровата теорема

Питагорейската теорема е една от най -ранните теореми, известни на древните цивилизации. Тази известна теорема е кръстена на гръцкия математик и философ Питагор. Питагор основава Питагорейската математическа школа в Кортона, гръцко пристанище в Южна Италия. Той е приписван с много приноси към математиката, въпреки че някои от тях може би всъщност са дело на неговите ученици.

Питагоровата теорема е най -известният математически принос на Питагор. Според легендата Питагор бил толкова щастлив, когато открил теоремата, че принесъл жертва на волове. По -късното откритие, че квадратният корен от 2 е ирационален и следователно не може да се изрази като съотношение на две цели числа, силно разтревожи Питагор и неговите последователи. Те бяха набожни в убеждението си, че всяка две дължини са интегрални кратни на някаква единична дължина. Правени са много опити да се потисне знанието, че квадратният корен от 2 е ирационален. Говори се дори, че човекът, който е разкрил тайната, е бил удавен в морето.

Питагоровата теорема е твърдение за триъгълници, съдържащи прав ъгъл. Питагоровата теорема гласи, че:

& quot; Площта на квадрата, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равна на сумата от площите на квадратите върху останалите страни. & quot

Според Питагоровата теорема сумата от площите на двата червени квадрата, квадрати A и B, е равна на площта на синия квадрат, квадрат C.

Следователно, Питагоровата теорема, формулирана алгебрично, е:

за правоъгълен триъгълник със страни с дължини a, b и c, където c е дължината на хипотенузата.

Въпреки че на Питагор се приписва известната теорема, вероятно вавилонците са знаели резултата за определени специфични триъгълници поне хилядолетие по -рано от Питагор. Не е известно как гърците първоначално са доказали доказателството на питагорейската теорема. Ако бяха използвани методите от Книга II на Евклидовите елементи, вероятно това беше вид дисекция, подобен на следния:

& quotГолям квадрат от страна a+b е разделен на два по -малки квадрата от страни a и b съответно, а два равни правоъгълника със страни a и b всеки от тези два правоъгълника могат да бъдат разделени на два равни правоъгълни триъгълника чрез изчертаване на диагонала c. Четирите триъгълника могат да бъдат подредени в друг квадрат от страна a+b, както е показано на фигурите.

Площта на квадрата може да бъде показана по два различни начина:

1. Като сума от площта на двата правоъгълника и квадратите:


2. Като сума от площите на квадрат и четирите триъгълника:

Сега, като зададем двата израза от дясната страна в тези уравнения равни, дава


Следователно квадратът върху c е равен на сумата от квадратите на a и b. (Бъртън 1991)

Има много други доказателства за питагорейската теорема. Едната идва от съвременната китайска цивилизация, открита в най -стария съществуващ китайски текст, съдържащ формални математически теории, класическата аритметика на гномана и кръговите пътеки на небето.

Доказателството на питагорейската теорема, вдъхновено от фигура в тази книга, беше включено в книгата Vijaganita, (Изчисления на корена), от индуския математик Бхаскара. Единственото обяснение на доказателството на Бхаскара беше просто & quotBehold & quot.

Тези доказателства и геометричното откритие, обграждащо Питагоровата теорема, доведоха до един от най -ранните проблеми в теорията на числата, известна като проблема на Питгорей.

Намерете всички правилни триъгълници, чиито страни са с интегрална дължина, като по този начин намерите всички решения в положителните числа на уравнението на Питагор:

Трите цели числа (x, y, z), които отговарят на това уравнение, се наричат ​​питагорова тройка.


Формулата, която ще генерира всички питагорейски тройки, се появи за първи път в книга X на Евклидовите елементи:


където n и m са положителни числа с противоположна четност и m & gtn.

В книгата си „Аритметика“ Диофант потвърждава, че може да получи правилни триъгълници, използвайки тази формула, въпреки че е стигнал до нея по различен начин на разсъждение.

Питагоровата теорема може да бъде представена на учениците през средните училищни години. Тази теорема става все по -важна през ученическите години. Не е достатъчно само да се посочи алгебричната формула за Питагоровата теорема. Учениците трябва да видят и геометричните връзки. Преподаването и изучаването на Питагоровата теорема може да бъде обогатено и подобрено чрез използването на хартия с точки, гео дъски, сгъване на хартия и компютърни технологии, както и много други учебни материали. Чрез използването на манипулативни и други образователни ресурси, Питагоровата теорема може да означава много повече за учениците, отколкото просто

и включване на числата във формулата.

По -долу са дадени различни доказателства за Питагоровата теорема, включително едно от Евклид. Тези доказателства, заедно с манипулациите и технологиите, могат значително да подобрят разбирането на учениците за питагорейската теорема.

По -долу е обобщение на доказателството от Евклид, един от най -известните математици. Това доказателство може да се намери в книга I на Евклидовите елементи.

Предложение: При правоъгълни триъгълници квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.

Евклид започна с питагорейската конфигурация, показана по -горе на фигура 2. След това той построи перпендикулярна линия от C до сегмента DJ на квадрата на хипотенузата. Точките H и G са пресечните точки на този перпендикуляр със страните на квадрата на хипотенузата. Той се намира по височината до правоъгълния триъгълник ABC. Вижте Фигура 3.

След това Евклид показа, че площта на правоъгълника HBDG е равна на площта на квадрата на BC и че ареалите на правоъгълника HAJG са равни на площта на квадрата на AC. Той доказа тези равенства, използвайки концепцията за сходство. Триъгълниците ABC, AHC и CHB са сходни. Площта на правоъгълника HAJG е (HA) (AJ) и тъй като AJ = AB, площта също е (HA) (AB). Приликата на триъгълници ABC и AHC означава

или, както трябва да се докаже, площта на правоъгълника HAJG е същата като площта на квадрата от страна AC. По същия начин триъгълниците ABC и CHG са сходни. Така

Тъй като сумата от площите на двата правоъгълника е площта на квадрата на хипотенузата, това завършва доказателството.

Евклид се стремеше да постави този резултат в работата си възможно най -скоро. Въпреки това, тъй като работата му по сходство нямаше да бъде до книги V и VI, беше необходимо той да измисли друг начин за доказване на Питагоровата теорема. По този начин той използва резултата, че паралелограмите са двойни триъгълници със същата основа и между същите паралели. Начертайте CJ и BE.

Площта на правоъгълника AHGJ е двойна площ на триъгълника JAC, а площта на квадрат ACLE е двоен триъгълник BAE. Двата триъгълника са съвместими от SAS. Същият резултат следва по подобен начин за другия правоъгълник и квадрат. (Кац, 1993)

Щракнете тук за GSP анимация, за да илюстрирате това доказателство.
Следващите три доказателства са по -лесно видими доказателства на Питагоровата теорема и биха били идеални за ученици от математика в гимназията. Всъщност това са доказателства, че студентите биха могли да се конструират в един момент.
Първото доказателство започва с правоъгълник, разделен на три триъгълника, всеки от които съдържа прав ъгъл. Това доказателство може да се види чрез използването на компютърни технологии или с нещо толкова просто като 3x5 индекс карта, нарязана на правилни триъгълници.

Може да се види, че триъгълниците 2 (в зелено) и 1 (в червено), напълно ще припокриват триъгълника 3 (в синьо). Сега можем да дадем доказателство за Питагоровата теорема, използвайки същите тези триъгълници.

I. Сравнете триъгълници 1 и 3.

Ъглите E и D съответно са прави ъгли в тези триъгълници. Сравнявайки техните прилики, имаме

и от Фигура 6, BC = AD. Така,

Чрез кръстосано умножение получаваме:

II. Сравнете триъгълници 2 и 3:

Сравнявайки приликите на триъгълници 2 и 3 получаваме:

От фигура 4, AB = CD. Чрез заместване,

Накрая, като добавим уравнения 1 и 2, получаваме:

Ние доказахме Питагоровата теорема.

Следващото доказателство е поредното доказателство на Питагоровата теорема, което започва с правоъгълник. Започва с конструиране на правоъгълник CADE с BA = DA. След това конструираме ъглополовящата на & ltBAD и я оставяме да пресича ED в точка F. По този начин & ltBAF е конгруентна на & ltDAF, AF = AF и BA = DA. Така че, чрез SAS, триъгълник BAF = триъгълник DAF. Тъй като & ltADF е прав ъгъл, & ltABF също е прав ъгъл.

След това, тъй като m & ltEBF + m & ltABC + m & ltABF = 180 градуса и m & ltABF = 90 градуса, & ltEBF и & ltABC се допълват. По този начин m & ltEBF + m & ltABC = 90 градуса. Ние също знаем това
m & ltBAC + m & ltABC + m & ltACB = 180 градуса. Тъй като m & ltACB = 90 градуса, m & ltBAC + m & ltABC = 90 градуса. Следователно, m & ltEBF + m & ltABC = m & ltBAC + m & ltABC и m & ltBAC = m & ltEBF.

Според теоремата за подобие на АА триъгълникът EBF е подобен на триъгълника CAB.

Нека сега k е съотношението на сходство между триъгълници EBF и CAB.

По този начин триъгълникът EBF има страни с дължини ka, kb и kc. Тъй като FB = FD, FD = kc. Също така, тъй като противоположните страни на правоъгълник са конгруентни, b = ka + kc и c = a + kb. Като решаваме за k, имаме

и ние завършихме доказателството.

Следващото доказателство на Питагоровата теорема, което ще бъде представено, е това, което започва с правоъгълен триъгълник. На следващата фигура триъгълник ABC е правоъгълен триъгълник. Правият ъгъл е ъгъл С.

След това нарисувайте CD перпендикулярно на AB, както е показано на следващата фигура.

Сравнете триъгълници 1 и 3:

Триъгълник 1 (зелен) е десният триъгълник, с който започнахме преди конструирането на CD. Триъгълник 3 (червен) е един от двата триъгълника, образувани от конструкцията на CD.


Фигура 13
Триъгълник 1. Триъгълник 3.

Сравнявайки тези два триъгълника, можем да видим това

Сравнете триъгълници 1 и 2:

Триъгълник 1 (зелен) е същият като по -горе. Триъгълник 2 (син) е другият триъгълник, образуван чрез конструиране на CD. Правият ъгъл е ъгъл D.


Фигура 14
Триъгълник 1. Триъгълник 2.

Сравнявайки тези два триъгълника, виждаме това

Като добавим уравнения 3 и 4 получаваме:

От фигури 11 и 12 с CD имаме, че (p + q) = c. Чрез заместване получаваме

Следващото доказателство на Питагоровата теорема, което ще бъде представено, е това, при което ще се използва трапец.

По конструкцията, използвана за формиране на този трапец, всичките 6 триъгълника, съдържащи се в този трапец, са прави триъгълници. Поради това,

Площ на трапеца = Сумата от площите на 6 -те триъгълника

И като използваме съответните формули за площ, получаваме:

Завършихме доказателството на Питагоровата теорема, използвайки трапеца.


Следващото доказателство за Питагоровата теорема, което ще представя, е това, което може да бъде преподадено и доказано с помощта на пъзели. Тези пъзели могат да бъдат конструирани с помощта на питагорейската конфигурация и след това да бъдат разчленени в различни форми.

Преди да бъде представено доказателството, важно е следващата цифра да бъде проучена, тъй като тя е пряко свързана с доказателството.

В тази питагорова конфигурация квадратът на хипотенузата е разделен на 4 правоъгълни триъгълника и 1 квадрат, MNPQ, в центъра. Тъй като MN = AN - AM = a - b. Всяка страна на квадрат MNPQ има дължина a - b. Това дава следното:

Площ на квадрата върху хипотенузата = Сума от областите на 4 -те триъгълника и площта на квадрата MNPQ

Както бе споменато по -горе, това доказателство на Питагоровата теорема може да бъде допълнително проучено и доказано с помощта на пъзели, направени от конфигурацията на Питагор. Учениците могат да направят тези пъзели и след това да използват парчетата от квадрати на краката на десния триъгълник, за да покрият квадрата на хипотенузата. Това може да бъде чудесна връзка, защото това е дейност „quothands-on“. След това учениците могат да използват пъзела, за да докажат самостоятелно Питагоровата теорема.


За да създадете този пъзел, копирайте квадрата на BC два пъти, веднъж поставен под квадрата на AC и веднъж вдясно от квадрата на AC, както е показано на Фигура 17.

Триъгълник CDE е равен на триъгълник ACB по крак-крак.

В триъгълник ACB, m & ltACB = 90 и страните имат дължини a, b, c.

В триъгълник CDE, m & ltCDE = 90 и страните имат дължини a, b, c.

Триъгълник EGH е равен на триъгълник ACB по крак-крак. M & ltEGH = 90 и неговите страни имат дължини a и c. Тъй като EF = b-a = AI, EG = b. По този начин диагоналите CE и EH са равни на c.


ПИТАГОРИ, ИРАЦИОНАЛНО НОМЕР И ТЕОРЕМА ПИТАГОРА

Питагор е гръцки математик, в същото време древен философ от 6 век. Той има голямо влияние за науката, особено в математиката. Един от известните му пропуски е Питагорската теорема, която почти хората са чували. Теоремата на Питагор казва, че хипотенузата на правоъгълния триъгълник е сума от квадрат на 2 -ра друга страна от десния триъгълник. Поради пропуските си в математиката, той нарича още „Бащата на числото“#8221.

Един от учениците, наречен така наречения Хипаз, каза, че 𕔆, което е хипотенуза на равнобедрен триъгълник, чиято дължина на всеки крак е 1, е ирационалното число. След това обаче Хипас е убит, защото Питагор не може да оспори доказателствата, събрани от Хипас.

Хипас е ученик на Питагор, идващ от Метапонт. Той е и математик, в същото време древногръцки философ около 6 век. Той се смята за изобретател на ирационално число, особено доказва, че квадратният корен от 2 𕔆 е ирационално число. По ирония на съдбата изобретението точно причинява смъртта. Питагор твърди съществуването на ирационално число. Питагор и другите ученици приеха, че всички nmber са рационални числа и няма ирационално число. Хипас доказва тази теорема, като използва reductio ad absurdum (доказва чрез противоречие), доказвайки числото, че е ирационално число. Питагор не може да оспори това твърдение и да приеме, че Хипас е погрешен последовател на преподаване, така че той е решил да погълне Хипаз.

Ирационалното число е реално число, което не може да бъде разделено (резултатът от него никога не е отпадал). В този случай ирационалното число не може да бъде изразено като a/b, с a и b като цяло число и b за разлика от null. Така че ирационалното число не е рационално число. Примерът за ирационално число като π, 𕔆 и e число. Числото Phi (π), което през времето, което разпознаваме, всъщност е неточно 3,14, но 3,1415926535897932 …. Също 𕔆 номер, който ако формулираме става 1,41421356237309504880 …. И е номер, който е 2,71828182 ….

Ирационалното число може да бъде доказано с помощта на reductio ad absurdum или на английски наречено доказателство чрез противоречие. Това е логически аргумент, започнат с предположение, след което от предположението е намерен абсурден резултат, нелогичен или противоречив, така че заключението на предположението ще бъде грешно ценно и отричането ще стане правилно ценно. Математическо твърдение понякога се доказва чрез reductio ad absurdum, т.е. чрез приемане на отричането (отрицанието) от твърдението, което ще бъде доказано, след това от предположението деградира противоречие. Когато противоречието е достижимо логически, тогава предположенията са доказали грешка, така че твърдението е правилно.

Доказан чрез противоречие или reductio ad absurdum не е грешен аргумент, но ако е направен наистина ще бъде валиден аргумент. Ако доказването чрез противоречие доведе до грешка, грешката се крие в процеса на деградация на противоречието, а не в майката на доказването.

Класическият пример за доказване чрез противоречие в древногръцката ера е доказването, че квадратният корен от две е ирационално число (не може да се изрази като сравнение на цяло число). Това твърдение е доказуемо чрез приемането на обратното, че 2 е рационално число, така че може да се изрази като сравнение на цяло число a/b в най -простата дроб. Но ако a/b = 𕔆, значи a2 = 2b2. Това означава, че a2 е четно число. Тъй като квадратът от нечетно число не е евентуално четен, тогава а е четно число. Тъй като a/b е най -простата дроб, b със сигурност е аномална (тъй като част от четно/четно число все още може да се направи умерена). Но тъй като а е четно число (да предположим, че 2r = a, средното a2 = 4r2) е сгъваемо число 4, а b2 е сгънато число 2 (четно). Това средно b също е четно число и това е в противоречие със заключението преди всичко, че b със сигурност е аномално. Тъй като ранното предположение, че 2 е рационално число, води до противоречието, предположението със сигурност е погрешно и отричането (че 2 е ирационално) е правилно твърдение.

Един от пропуските на Питагор, който е много популярен, е теоремата на Питагор. Теоремата, наречена като древногръцки математик и философ, той е Питагор. Питагор не е изобретателят на теоремата, но той е първите хора, които доказаха истинността на теоремата, така че той оцени с името на теоремата като неговото име.

Тази теорема изразява, че сумирането на широки квадрати в основата на правоъгълен триъгълник, равни на широки квадрати в хипотенузи. Правоъгълният триъгълник е триъгълник с прав ъгъл (90o0) стъпалата са две страни, които са скосени под ъгъл, а хипотенузата е трета страна, която се занимава с правия ъгъл. Формулата на тази теорема е a2+ b2 = c2, където a и b са страните на десния триъгълник, а c е хипотенузата.


Полезно приложение: Опитайте всяка форма

Използвахме триъгълници в нашата диаграма, най-простата двумерна форма. Но линейният сегмент може да принадлежи на всякакви форма. Вземете например кръгове:

Какво се случва, когато ги съберем?

Познахте: Кръг с радиус 5 = Кръг с радиус 4 + Кръг с радиус 3.

Доста диво, а? Можем да умножим Питагоровата теорема с нашия коефициент на площ (в този случай pi) и да измислим връзка за всяка форма.

Не забравяйте, че сегментът на линията може да бъде всяка част от формата. Можехме да изберем радиуса, диаметъра или обиколката на окръжността-щеше да има различен коефициент на площ, но връзката 3-4-5 пак щеше да се задържи.

Така че, независимо дали добавяте пици или маски на Ричард Никсън, питагорейската теорема ви помага да свържете областите с всякакви подобни форми. Това е нещо, на което не са ви учили в началното училище.


Питагорейската теорема прави възможно изграждането и GPS

Добре, време е за поп тест. Имате правоъгълен триъгълник-тоест такъв, при който две страни се събират, за да образуват ъгъл от 90 градуса. Знаете дължината на тези две страни. Как да разберете дължината на останалата страна?

Това е лесно, при условие, че сте учили геометрия в гимназията и познавате питагорейската теорема, математическо твърдение, което е на хиляди години.

Питагоровата теорема гласи, че при правоъгълен триъгълник сумата от квадратите на двете страни, образуващи правия ъгъл, е равна на квадрата на третата, по-дълга страна, която се нарича хипотенуза. В резултат на това можете да определите дължината на хипотенузата с уравнението а 2 + б 2 = c 2 , в който а и б представляват двете страни на правия ъгъл и ° С е дългата страна.

Кой беше Питагор?

Доста хлъзгав трик, а? Но човекът, на когото е наречен този математически трик, е почти толкова завладяващ. Питагор, древногръцки мислител, който е роден на остров Самос и е живял от 570 до 490 г. пр. Н. Е. Бил нещо като троен характер - философ, математик и мистичен култов водач. Приживе Питагор не беше известен толкова много за решаването на продължителността на хипотенузата, колкото за вярата си в прераждането и придържането към аскетичен начин на живот, който подчертаваше строга вегетарианска диета, придържане към религиозните ритуали и много самодисциплина че е преподавал на своите последователи.

Биографът на Питагор Кристоф Рийдвег го описва като висока, красива и харизматична фигура, чиято аура е подсилена от ексцентричното му облекло - бял халат, панталон и златен венец на главата. Около него се въртяха странни слухове - че може да върши чудеса, че под дрехите му е скрит златен изкуствен крак и че притежава силата да бъде на две места едновременно.

Питагор основава училище в близост до сегашния пристанищен град Кротоне в Южна Италия, което е наречено полукръг на Питагор. Последователите, които се заклеха в кодекс на тайна, се научиха да съзерцават числата по начин, подобен на еврейския мистицизъм на Кабала. Във философията на Питагор всяко число има божествено значение и тяхната комбинация разкрива по -голяма истина.

С хиперболична репутация като тази, не е чудно, че на Питагор е приписана разработването на една от най -известните теореми на всички времена, въпреки че всъщност той не е първият, който е измислил концепцията. Китайски и вавилонски математици го победиха с хилядолетие.

„Това, което имаме, е доказателство, че те са познавали питагорейската връзка чрез конкретни примери“, пише в имейл Г. Доналд Алън, професор по математика и директор на Центъра за технологично обусловени преподавания по математика в Тексаския университет A & ampM. & quotНамерена е цяла вавилонска плочка, която показва различни тройки числа, които отговарят на условието: а 2 + б 2 = c 2 . & quot

Как е полезна Питагоровата теорема днес?

Питагоровата теорема не е просто интригуващо математическо упражнение. Той се използва в широк спектър от области, от строителството и производството до навигацията.

Както обяснява Алън, едно от класическите приложения на питагорейската теорема е полагането на основите на сградите. & quotВиждате ли, за да направите правоъгълна основа, да речем, за храм, трябва да направите прави ъгли. Но как можете да направите това? Като го огледаш? Това не би работило за голяма структура. Но когато имате дължината и ширината, можете да използвате теоремата на Питагор, за да направите точен прав ъгъл към всяка точност. & Quot

Отвъд това "Тази теорема и свързаните с нея ни дадоха цялата ни система за измерване", казва Алън. & quotПозволява на пилотите да се движат във ветровито небе, а на корабите да определят своя курс. Всички GPS измервания са възможни поради тази теорема. & Quot

В навигацията Питагоровата теорема предоставя на корабния навигатор начин за изчисляване на разстоянието до точка в океана, която е, да речем, 300 мили северно и 400 мили западно (480 километра северно и 640 километра западно). Той е полезен и за картографи, които го използват за изчисляване на стръмността на хълмове и планини.

"Тази теорема е важна във цялата геометрия, включително твърдата геометрия", продължава Алън. & quotТой също е основополагащ в други клонове на математиката, голяма част от физиката, геологията, всички от машинното и авиационното инженерство. Дърводелците го използват, както и машинистите. Когато имате ъгли и имате нужда от измервания, имате нужда от тази теорема. & Quot

Един от формиращите преживявания в живота на Алберт Айнщайн е писането на собствено математическо доказателство за питагорейската теорема на 12 -годишна възраст. Увлечението по геометрията на Айнщайн в крайна сметка изигра роля в развитието на теориите за специалната и общата теория на относителността.


Гледай видеото: Bərabəryanlı və bərabərtərəfli üçbucaqlar 1-53 (Август 2022).